In questo paragrafo si mostrerà come ottenere in un triangolo qualsiasi la misura di un lato quando si conoscono le misure degli altri due lati e dell'angolo tra essi compreso, precisamente vale il seguente:

Teorema [ di Carnot o del coseno ].
In un triangolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi ultimi per il coseno dell'angolo tra essi compreso.

 

Dimostrazione:

si prenderà in considererazione solo il caso in cui l'angolo compreso tra i due lati noti è acuto, ma nel caso in cui l'angolo fosse ottuso la dimostrazikone è del tutto simile.

Del triangolo si consideri l'altezza relativa al lato .

Il triangolo è rettangolo per costruzione, dunque, per i teoremi sulla risoluzione dei triangoli rettangoli si può scrivere:

e , dunque si ha anche

.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo si ha:
.

Infine sostituendo in quest'ultima uguaglianza le relazione ottenute sopra si ha:

ed in quest'ultimo passaggio si è sfruttata anche la prima identità fondamentale della goniometria.