Integrale indefinito

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui JXUwMDNjJXUwMDAxJXUwMDE3JXUwMDFiJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDE1JXUwMDE1 sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle JXUwMDI4JXUwMDAyJXUwMDFiJXUwMDA0JXUwMDA0JXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDEz di una funzione. La totalità delle primitive di una funzione f(x) si chiama JXUwMDMxJXUwMDA3JXUwMDFhJXUwMDExJXUwMDAyJXUwMDE1JXUwMDEzJXUwMDBkJXUwMDA5 JXUwMDMxJXUwMDA3JXUwMDBhJXUwMDAxJXUwMDAzJXUwMDBmJXUwMDA3JXUwMDA3JXUwMDFkJXUw MDFi della funzione f(x) e si indica con il simbolo: , che si legge "integrale indefinito della funzione f(x) in dx"; f(x) è detta funzione JXUwMDMxJXUwMDA3JXUwMDFhJXUwMDExJXUwMDAyJXUwMDE1JXUwMDEzJXUwMDBmJXUwMDBhJXUw MDA1 .

L'integrazione è quindi il processo JXUwMDMxJXUwMDA3JXUwMDE4JXUwMDEzJXUwMDE3JXUwMDAxJXUwMDFj alla derivazione.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto.

Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b]: l'insieme di tutte le primitive di f in [a,b] si chiama integrale indefinito di f e si indica



mentre la forma funzionale generica (in cui la costante è indefinita) di tale funzione è detta integrale indefinito di e si indica con


dove c rappresenta la JXUwMDNiJXUwMDBjJXUwMDFjJXUwMDA3JXUwMDE1JXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDEx indefinita.

Metodi di integrazione


Per calcolare un integrale si può cercare di riconoscere nella funzione integranda la JXUwMDNjJXUwMDAxJXUwMDE3JXUwMDFiJXUwMDFmJXUwMDE3JXUwMDE1JXUwMDE1 di una qualche funzione (questi sono detti "integrali JXUwMDMxJXUwMDA0JXUwMDAwJXUwMDA4JXUwMDAxJXUwMDBkJXUwMDA4JXUwMDE1JXUwMDFk ").

Altrimenti esistono dei metodi che hanno come scopo la semplificazione della funzione integranda:

• se l'integranda è il prodotto di due funzioni, allora l'integrazione JXUwMDI4JXUwMDE1JXUwMDE3 JXUwMDI4JXUwMDExJXUwMDEzJXUwMDA2JXUwMDFk riduce l'integrale dato ad un altro integrale; se si è in grado di risolvere quest'ultimo si giunge al risultato richiesto.
• se il risultato non è immediatamente riconoscibile, è possibile effettuare un cambiamento di JXUwMDJlJXUwMDE3JXUwMDEzJXUwMDFiJXUwMDA4JXUwMDAzJXUwMDBiJXUwMDA1JXUwMDA5 (integrazione per JXUwMDJiJXUwMDFjJXUwMDFjJXUwMDA3JXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDAxJXUwMDBmJXUwMDEzJXUw MDA2JXUwMDAxJXUwMDBi ) e ricondurre l'integrale dato ad un'altro nella nuova variabile
• se l'integranda è una funzione razionale fratta con denominatore di secondo grado si segue sempre lo stesso procedimento e precisamente:
  • se il Δ del denominatore è JXUwMDM1JXUwMDBjJXUwMDA2JXUwMDAwJXUwMDBlJXUwMDA2JXUwMDFkJXUwMDE3 di zero ci si riconduce, attraverso il JXUwMDI4JXUwMDAyJXUwMDFiJXUwMDA3JXUwMDBkJXUwMDBhJXUwMDE5JXUwMDE5JXUwMDA2 di JXUwMDMxJXUwMDBkJXUwMDAxJXUwMDBiJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDk0 dei polinomi, all'integrazione di due fratti JXUwMDJiJXUwMDE2JXUwMDA4JXUwMDFkJXUwMDFjJXUwMDA1JXUwMDBhJXUwMDBh del tipo che porta alla primitiva JXUwMDM0JXUwMDAyJXUwMDEyJXUwMDA0JXUwMDU1JXUwMDRjJXUwMDFk + c
  • se il Δ del denominatore è JXUwMDJkJXUwMDEyJXUwMDEyJXUwMDE0JXUwMDBkJXUwMDA5 a zero ci si riconduce, attraverso il JXUwMDI4JXUwMDAyJXUwMDFiJXUwMDA3JXUwMDBkJXUwMDBhJXUwMDE5JXUwMDE5JXUwMDA2 di JXUwMDMxJXUwMDBkJXUwMDAxJXUwMDBiJXUwMDFhJXUwMDFkJXUwMDFkJXUwMDk0 dei polinomi, all'integrazione del fratto semplice che porta alla primitiva JXUwMDc1JXUwMDFjJXUwMDFlJXUwMDA3JXUwMDUwJXUwMDU1JXUwMDRjJXUwMDQ4 + c
  • se il Δ del denominatore è JXUwMDM1JXUwMDA0JXUwMDA3JXUwMDAxJXUwMDFkJXUwMDE3 di zero ci si riconduce all'integrazione del fratto semplice che porta alla primitiva JXUwMDM5JXUwMDEzJXUwMDExJXUwMDE3JXUwMDEzJXUwMDRmJXUwMDRlJXUwMDRlJXUwMDUwJXUw MDUxJXUwMDAw + c

Principali primitive

	JXUwMDIwJXUwMDI2JXUwMDc2JXUwMDQ5JXUwMDRhJXUwMDFhJXUwMDE4JXUwMDA2JXUwMDA3JXUw MDQ5JXUwMDRhJXUwMDFhJXUwMDE4 + c
	JXUwMDM0JXUwMDAyJXUwMDEyJXUwMDA0JXUwMDA0 + c
	JXUwMDNkJXUwMDNiJXUwMDI2 + c
	JXUwMDM5JXUwMDNmJXUwMDI2JXUwMDU3JXUwMDQzJXUwMDAyJXUwMDBm + c
	JXUwMDc1JXUwMDRlJXUwMDBjJXUwMDFjJXUwMDBi + c
	JXUwMDJiJXUwMDFhJXUwMDA3JXUwMDE2 + c
	JXUwMDM0JXUwMDAyJXUwMDEyJXUwMDFmJXUwMDBjJXUwMDFjJXUwMDBiJXUwMDA0 + c
	JXUwMDc1JXUwMDQxJXUwMDAyJXUwMDEyJXUwMDBmJXUwMDFhJXUwMDA3JXUwMDE2JXUwMDA0 + c
	JXUwMDJjJXUwMDE1JXUwMDBmJXUwMDE2 + c
	JXUwMDc1JXUwMDRlJXUwMDBjJXUwMDFiJXUwMDBj + c
	JXUwMDM5JXUwMDEzJXUwMDExJXUwMDE3JXUwMDE1JXUwMDBmJXUwMDE2 + c
	JXUwMDM5JXUwMDEzJXUwMDExJXUwMDEwJXUwMDFhJXUwMDA3JXUwMDE2 + c